一次函数

斜率与截距

形如 $ y=kx+b(k\ne 0) $ 的函数为一次函数。
$ b=0 $ 时为正比例函数，正比例函数也是一次函数。

直线与 $ x $ 轴交点为 $ (-\frac{b}{k},0) $ ，与 $ y $ 轴交点为 $ (0,b) $

$ k=\tan \alpha,\alpha $ 为直线与 $ x $ 轴正半轴的夹角。

$ k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $ ， $ (x_1,y_1),(x_2,y_2) $ 为直线上两个不同的点。

$ |k| $ 越大，直线越陡峭，越接近 $ y $ 轴； $ |k| $ 越小，直线越平缓，越接近 $ x $ 轴。

$ k>0 $ ， $ y $ 随着 $ x $ 增大而增大； $ k<0 $ ， $ y $ 随着 $ x $ 增大而减小。

若 $ x $ 取值范围为 $ x_1<x<x_2 $
$ k>0 $ 时， $ f(x_1) $ 为最小值， $ f(x_2) $ 为最大值。
$ k<0 $ 时， $ f(x_1) $ 为最大值， $ f(x_2) $ 为最小值。

$ k=1 $ 时，直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 45^\circ $
$ k=-1 $ 时，直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 135^\circ $
$ k=\frac{\sqrt3}{3} $ 时，直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 30^\circ $
$ k=-\frac{\sqrt3}{3} $ 时，直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 150^\circ $
$ k=\sqrt3 $ 时，直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 60^\circ $
$ k=-\sqrt3 $ 时，直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 120^\circ $

$ k=0\Leftrightarrow $ 直线垂直于 $ y $ 轴。 $ k\to \infty $ 不存在 $ \Leftrightarrow $ 直线垂直于 $ x $ 轴。

垂直直线的斜率关系

若直线 $ y=k_1x+b_1 $ 与直线 $ y=k_2x+b_2 $ 相垂直，则有 $ k_1·k_2=-1 $

已知坐标系内两点 $ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $ ，求线段 $ AB $ 垂直平分线的解析式。
设线段 $ AB $ 垂直平分线的解析式为 $ y=kx+b $ ，则有：
$ k·\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-1 \frac{y_1+y_2}{2}=k·\frac{x_1+x_2}{2}+b $

点 $ (a,b) $ 关于直线 $ y=x $ 的对称点为 $ (b,a) $
点 $ (a,b) $ 关于直线 $ y=-x $ 的对称点为 $ (-b,-a) $

在平面直角坐标系中，定义点 $ (-b,-a) $ 为点 $ (a,b) $ 的关联点。若一个点和它的关联点在同一个象限，判断该点所在的象限。

在平面直角坐标系中， $ A(0,3),B(4,0) $ ，点 $ C $ 在坐标轴上且满足 $ CA=CB $ ，求 $ C $ 点坐标。

若直线 $ y_1=3x+2 $ 与直线 $ y_2=kx+b $ 关于直线 $ y=x $ 对称，求直线 $ y_2 $ 的解析式。

直线交点与方程解的关系

已知直线 $ y=k_1x+b_1 $ 和直线 $ y=k_2x+b_2 $
若 $ k_1\ne k_2 $ ，两条直线有唯一交点。
若 $ k_1 = k_2, b_1 \ne b_2 $ ，两条直线平行，没有交点。
若 $ k_1 = k_2, b_1 = b_2 $ ，两条直线重合，有无数个交点。

直线 $ y=k_1x+b_1 $ 与直线 $ y=k_2x+b_2 $ 的交点 $ (x_0,y_0) $ 是方程组
$ k_1x-y+b_1=0 k_2x-y+b_2=0 $ 的解。
两条直线有唯一交点 $ \Leftrightarrow $ 方程组有唯一解。
两条直线平行 $ \Leftrightarrow $ 方程组无解。
两条直线重合 $ \Leftrightarrow $ 方程组有无数解。

设 $ b>a $ ，在同一直角坐标系下画出一次函数 $ y=bx+a $ 和一次函数 $ y=ax+b $ 的图像。

直线 $ y=3x-1 $ 与直线 $ y=x-k $ 的交点在第四象限，求 $ k $ 的取值范围。

一次函数与不等式

若一次函数 $ y=kx+b $ 与 $ x $ 轴交点为 $ (x_0,0) $ ，则有：
方程 $ kx+b=0 $ 的解为 $ x=x_0 $
若 $ k>0 $ ，不等式 $ kx+b>0 $ 的解集为 $ x>x_0 $ ，不等式 $ kx+b<0 $ 的解集为 $ x<x_0 $
若 $ k<0 $ ，不等式 $ kx+b>0 $ 的解集为 $ x<x_0 $ ，不等式 $ kx+b<0 $ 的解集为 $ x>x_0 $

若一次函数 $ y=k_1x+b_1 $ 与一次函数 $ y=k_2x+b_2 $ 相交于 $ (x_0,y_0) $ ，且 $ k_1>k_2 $ ，则有：
$ k_1x+b_1>k_2x+b_2 $ 的解集为 $ x>x_0 $
$ k_1x+b_1<k_2x+b_2 $ 的解集为 $ x<x_0 $

如下图，若一次函数 $ y=k_1x+b_1 $ 反比例函数 $ y=\frac{k_2}{x} $ 两支相交于 $ N(x_1,y_1),M(x_2,y_2) $ 两点，则有：
$ k_1x+b_1>\frac{k_2}{x} \Leftrightarrow x_1<x<0 $ 或 $ x>x_2 $
$ k_1x+b_1<\frac{k_2}{x} \Leftrightarrow x<x_1 $ 或 $ 0<x<x_2 $