什么是“增根”?
什么是“增根”?增根是数学中的一个概念,通常出现在解方程的过程中。当我们在解一个多项式方程时,可能会得到一些解,这些解在原方程中是有效的,但在某些变形后的方程中可能不满足等式关系,这些解就被称为增根。
该分类下共有 2010 篇文章
初中数学的几何单元涵盖了众多重要的定理,它们对于理解和解决几何问题至关重要。然而,由于学习过程中知识点往往是零散呈现的,这可能会对我们的记忆造成一定的障碍。为了帮助大家更有效地掌握这些核心概念,贤知助手精心梳理了初中三年课程中最为关键的几何定理。这些基础定理构成了解决几何题目的基石,其重要性不言而喻。因此,牢记这些定理对于每位初中生来说都是至关重要的。一 点、线、角点的定理:过两点有且只有一条直线点的定理:两点之间线段最短角的定理:同角或等角的补角相等角的定理:同角或等角的余角相等直线定理:过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短二 几何平行平行定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行证明两直线平行定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同 旁内角互补,两直线平行两直线平行推论:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线 平行,同旁内角互补三 三角形内角定理定理:三角形两边的和大于第三边推论:三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°四 全等三角形判定定理:全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等五 角的平分线定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合六 等腰三角形性质等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边推论2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边 也相等(等角对等边)七 对称定理定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关 于这条直线对称八 直角三角形定理定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即 a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2,那么这 个三角形是直角三角形九 多边形内角和定理定理:四边形的内角和等于360°;四边形的外角和等于360°多边形内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)×180°推论:任意多边的外角和等于360°十 平行四边形定理平行四边形性质定理:1.平行四边形的对角相等2.平行四边形的对边相等3.平行四边形的对角线互相平分推论:夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形判定定理: 1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.一组对边平行相等的四边形是平行四边形十一 矩形的定理矩形性质定理1:矩形的四个角都是直角矩形性质定理2:矩形的对角线相等矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形十二 菱形定理菱形性质定理1:菱形的四条边都相等菱形性质定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形十三 正方形定理正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线 平分一组对角十四 中心对称定理定理1:关于中心对称的两个图形是全等的定理2:关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分逆定理:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这 两个图形关于这一点对称十五 等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理:1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理: 1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边十六 中位线定理三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷ 2S=L×h十七 相似三角形定理相似三角形定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理:两角对应相等,两三角形相似(ASA)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 相似直角三角形定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似性质定理:相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方十八 三角函数定理任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值十九 圆的定理定理:过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2:弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧推论3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧定理:在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线圆的切线垂直经过切点的半径三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角圆的外切四边形的两组对边的和相等如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等二十 比例性质定理比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b记忆技巧故事法:将定理与一个故事或场景联系起来,通过故事来记忆定理。图像记忆:为每个定理绘制一个图形,通过视觉记忆来加深印象。分类记忆:将定理按照类型(如三角形、四边形、圆等)分类记忆。反复练习:通过不断解决实际问题来应用这些定理,实践是记忆的最好方式。
1、解关于x的方程(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7)(8)(9)2、关于x的方程有一个实数根是t=1,求t的值3、已知直线y=kx+4与坐标轴围成的面积为6,求这个一次函数解析式。4、甲、乙两名车工各接受相同数量的生产任务。开始时,乙比甲每天少做4件产品。到甲、乙都剩下624件产品未完成时,乙比甲多做了两天,此时车工乙进行了技术革新每天比原来多做6件产品,结果两人同时完成任务,那么,原来每人每天各做了多少件产品?生产任务总计多少件产品?$3-sqrt{2x-3}=x$
2012至2022年上海各区中考一二模卷 包含答案和解析这是上海地区的中考模拟考卷,其他地区也可以看看,知识都是相通的。资源来自网络 ZIP文件包含了所有的文件 完全解压后约160MB(2012~2020年)我用夸克网盘分享了「上海市中考数学 · 一二模卷(2012年-2022年).zip」,点击链接即可保存。打开「夸克APP」,无需下载在线播放视频,畅享原画5倍速,支持电视投屏。
知识点1:有理数乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。知识点2:倒数的概念 乘积是1的两个数互为倒数。由于a×1/a(a≠0) ,所以当a是不为0的有理数时,a的倒数是1/a。若a、b互为倒数,则ab=1。知识点3:有理数乘法法则的推广 (1) 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。 (2) 几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0。知识点4:有理数乘法的运算定律 (1) 乘法交换律:a·b=b·a (2) 乘法结合律:(a·b)·c=a·(b·c) (3) 分配律:a·(b+c)=a·b+a·c
一次函数斜率与截距形如 $ y=kx+b(k e 0) $ 的函数为一次函数。 $ b=0 $ 时为正比例函数,正比例函数也是一次函数。直线与 $ x $ 轴交点为 $ (-rac{b}{k},0) $ ,与 $ y $ 轴交点为 $ (0,b) $ $ k= an lpha,lpha $ 为直线与 $ x $ 轴正半轴的夹角。$ k=rac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $ , $ (x_1,y_1),(x_2,y_2) $ 为直线上两个不同的点。$ |k| $ 越大,直线越陡峭,越接近 $ y $ 轴; $ |k| $ 越小,直线越平缓,越接近 $ x $ 轴。$ k>0 $ , $ y $ 随着 $ x $ 增大而增大; $ k<0 $ , $ y $ 随着 $ x $ 增大而减小。若 $ x $ 取值范围为 $ x_1<x<x_2 $ $ k>0 $ 时, $ f(x_1) $ 为最小值, $ f(x_2) $ 为最大值。 $ k<0 $ 时, $ f(x_1) $ 为最大值, $ f(x_2) $ 为最小值。$ k=1 $ 时,直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 45^circ $ $ k=-1 $ 时,直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 135^circ $ $ k=rac{sqrt3}{3} $ 时,直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 30^circ $ $ k=-rac{sqrt3}{3} $ 时,直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 150^circ $ $ k=sqrt3 $ 时,直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 60^circ $ $ k=-sqrt3 $ 时,直线与 $ x $ 轴正半轴夹角为 $ 120^circ $ $ k=0Leftrightarrow $ 直线垂直于 $ y $ 轴。 $ k o infty $ 不存在 $ Leftrightarrow $ 直线垂直于 $ x $ 轴。垂直直线的斜率关系若直线 $ y=k_1x+b_1 $ 与直线 $ y=k_2x+b_2 $ 相垂直,则有 $ k_1·k_2=-1 $ 已知坐标系内两点 $ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $ ,求线段 $ AB $ 垂直平分线的解析式。设线段 $ AB $ 垂直平分线的解析式为 $ y=kx+b $ ,则有: $ k·rac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-1 rac{y_1+y_2}{2}=k·rac{x_1+x_2}{2}+b $ 点 $ (a,b) $ 关于直线 $ y=x $ 的对称点为 $ (b,a) $ 点 $ (a,b) $ 关于直线 $ y=-x $ 的对称点为 $ (-b,-a) $ 在平面直角坐标系中,定义点 $ (-b,-a) $ 为点 $ (a,b) $ 的关联点。若一个点和它的关联点在同一个象限,判断该点所在的象限。在平面直角坐标系中, $ A(0,3),B(4,0) $ ,点 $ C $ 在坐标轴上且满足 $ CA=CB $ ,求 $ C $ 点坐标。若直线 $ y_1=3x+2 $ 与直线 $ y_2=kx+b $ 关于直线 $ y=x $ 对称,求直线 $ y_2 $ 的解析式。直线交点与方程解的关系已知直线 $ y=k_1x+b_1 $ 和直线 $ y=k_2x+b_2 $ 若 $ k_1 e k_2 $ ,两条直线有唯一交点。若 $ k_1 = k_2, b_1 e b_2 $ ,两条直线平行,没有交点。若 $ k_1 = k_2, b_1 = b_2 $ ,两条直线重合,有无数个交点。直线 $ y=k_1x+b_1 $ 与直线 $ y=k_2x+b_2 $ 的交点 $ (x_0,y_0) $ 是方程组 $ k_1x-y+b_1=0 k_2x-y+b_2=0 $ 的解。两条直线有唯一交点 $ Leftrightarrow $ 方程组有唯一解。两条直线平行 $ Leftrightarrow $ 方程组无解。两条直线重合 $ Leftrightarrow $ 方程组有无数解。设 $ b>a $ ,在同一直角坐标系下画出一次函数 $ y=bx+a $ 和一次函数 $ y=ax+b $ 的图像。直线 $ y=3x-1 $ 与直线 $ y=x-k $ 的交点在第四象限,求 $ k $ 的取值范围。一次函数与不等式若一次函数 $ y=kx+b $ 与 $ x $ 轴交点为 $ (x_0,0) $ ,则有:方程 $ kx+b=0 $ 的解为 $ x=x_0 $ 若 $ k>0 $ ,不等式 $ kx+b>0 $ 的解集为 $ x>x_0 $ ,不等式 $ kx+b<0 $ 的解集为 $ x<x_0 $ 若 $ k<0 $ ,不等式 $ kx+b>0 $ 的解集为 $ x<x_0 $ ,不等式 $ kx+b<0 $ 的解集为 $ x>x_0 $ 若一次函数 $ y=k_1x+b_1 $ 与一次函数 $ y=k_2x+b_2 $ 相交于 $ (x_0,y_0) $ ,且 $ k_1>k_2 $ ,则有: $ k_1x+b_1>k_2x+b_2 $ 的解集为 $ x>x_0 $ $ k_1x+b_1<k_2x+b_2 $ 的解集为 $ x<x_0 $ 如下图,若一次函数 $ y=k_1x+b_1 $ 反比例函数 $ y=rac{k_2}{x} $ 两支相交于 $ N(x_1,y_1),M(x_2,y_2) $ 两点,则有: $ k_1x+b_1>rac{k_2}{x} Leftrightarrow x_1<x<0 $ 或 $ x>x_2 $ $ k_1x+b_1<rac{k_2}{x} Leftrightarrow x<x_1 $ 或 $ 0<x<x_2 $
(1)从变更了命题的表达形式上,培养自己思维的深刻性。加强了这方面的训练,可以使我们养成深刻理解知识的本质,从而达到培养自己的审题能力。 (2)从寻求不同的解题途径与思维方式上,培养自己思维的广阔性。对问题解答的思维方式不同,产生的解题方法各异,这样的训练有益于打破形成的思维定势,开拓我们的思路,优化解题方法,从而培养唯美的发散思维能力。 (3)从变换几何图形的位置、形状和大小上,培养唯美思维的灵活性、敏捷性。逐步学会把课本中的例题和习题多层次变换,既加强了知识之间的联系,又激发了自己的学习兴趣,达到既巩固知识又培养能力的目的。 (4)从改变题目的条件和结论上,培养我们思维的批判性。这样的训练可以克服自己静止、孤立地看问题的习惯,促进自己对数学思想方法的再认识,培养我们研究和探索问题的能力。
新一轮中考复习备考周期正式开始,贤知助手学校为各位考生整理了各学科的复习攻略,主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容,帮助各位考生梳理知识脉络,理清做题思路,希望各位考生可以在考试中取得优异成绩!下面是《中考数学知识点:列一元一次方程解应用题的一般步骤》,仅供参考! 列一元一次方程解应用题的一般步骤: 列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是: ⑴审题:理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元(未知数):找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系; ①直接未知数:设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程; ②间接未知数(往往二者兼用)。 一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答题。 综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。