黛安娜和母亲一起上街为她妹妹的生日聚会购买糖果和小礼品。黛安娜的母亲专买小礼品，而黛安娜专买糖果。关于她买糖果的数量和所买小礼品的数量，以及她们所花的钱款，情况如下：
　　(1) 黛安娜身上只带了十三枚硬币，而且里面只有三种：1 美分、5 美分和 25 美分。她把它们全部用来买了糖果。
　　（2）她为奥尔西娅买的糖果每块 2 美分，她为布莱思买的糖果每块 3 美分，她为卡丽买的糖果每块 6 美分。
　　（3）她为这三个女孩买的糖果块数各不相同，而且都不止一块。
　　（4）有两种糖果她所付的钱款相同。
　　（5）她母亲买了一些小礼品，每件小礼品的单价都一样。母亲总共花了 4.80 美元。
　　（6）黛安娜所买糖果的块数同她母亲所买纪念品的件数相等。
　　（7）黛安娜给她妹妹买的糖果块数最多。
　　三个女孩中，谁是黛安娜的妹妹？
　　（提示：根据 (1)、(2)、(5)、(6) 可列出五个方程。根据 (4) 所列出的三个方程，只有一个是正确的。在这些方程中各个量的和与积是奇数还是偶数，应予考虑。）
　　答　案
　　设 P= 黛安娜所带的 1 美分硬币和枚数，
　　N= 黛安娜所带的 5 美分硬币和枚数，
　　Q= 黛安娜所带的 25 美分硬币和枚数，
　　T= 黛安娜为买糖果所花的总钱数 (以美分为单位)，
　　a= 为奥尔西娅所买的糖果的块数，
　　b= 为布莱思所买的糖果的块数，
　　c= 为卡丽所买的糖果的块数，
　　d= 母亲所买的纪念品的单价（以美分为单位），
　　F= 母亲所买的纪念品的件数。
　　以上各数都是正整数。
　　根据（1）：（la）P+N+Q＝13，
　　（1b)P+5N+25Q＝T.
　　根据（2）：（2）2a+3b+6c＝T。
　　根据（3）：（3）a、b、c 各不相同而且都大于 1。
　　根据（4）：（4）或者 2a＝3b，或者 2a＝6c，或者 3b＝6c。
　　根据（5）：（5）F×d＝480。
　　根据（6）：（6）a+b+C＝F。
　　根据（7），问题可以重新表述为：
　　（7）a、b、c 中哪一个最大？
　　这里一共有六个方程和九个未知数，第四个方程是三个可能的方程中的一个。方程太多，无法仅用代数方法求解，因此除了各数都是正整数这一特点之外，必须再寻找其他特点。
　　我们知道：两个奇数之和总是偶数，
　　两个偶数之和总是偶数，
　　一个奇数与一个偶数之和总是奇数。
　　而且知道：两个奇数之积总是奇数，
　　两个偶数之积总是偶数，
　　一个奇数与一个偶数之积总是偶数。
　　根据这些规律，在方程（1a）中，或是 P、N、Q 三者都是奇
　　数，或是这三个数中只有一个是奇数。无论是这两种情况中的哪一种，（1b）中的 T 总是奇数。于是方程（2）中的 b 是奇数。这样，在方程（4）中，2a 不能等于 3b，因为 2a 是偶数而 3b 是奇数。3b 也不能等于 6c，因为 6c 是偶数而 3b 是奇数。因此 2a＝6c。(至此，已经知道 c 不是最大的数，因为 a 必定大于 c。）两边除以 2，得 a＝3c。代入方程（6），得 b+4c＝F。
　　由于 b 是奇数，所以在 b+4c＝F 中，F 是奇数。在方程（5）中，480 是两个数的乘积，其中一个是奇数（F），另一个是偶数（d）。在这个乘积中，F 可能取的奇数值只有 l、3、5 或 15。F 等于 1 或 3 是不可能的，因为在 b+4c＝F 中，b 和 c 必须是正整数。根据（3）(b 和 c 不能等于 1），F 也不等于 5。因此，F 必定等于 15。
　　于是 b＋4c＝15，而 C 不能大于 3 或者小于 1。根据（3），C 不能等于 1，也不能等于 3 否则 b 也等于 3）。所以 C 必定等于 2。从而 b＝7。根据前面得出的 a＝3c，所以 a＝6。因此 b 是最大的数。这样，根据（7），布莱思是黛安娜的妹妹。
　　其他各值可以求解如下。因为 F＝15，所以根据（5），d＝32。由于 a＝6，b＝7，c＝2，所以根据（2），T＝45。从（1b）减去
　　（la）得出 4N+240＝32。两边除以 4，得 N+6Q＝8。Q 不能大于 1（否则 N 将是负数），也不能小于 1（因为根据（l），黛安娜有 25 美分的硬币），因此 Q＝l。于是 N＝2。于是根据（la），P＝10。